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　　AG旗舰厅从科学工作者的立场看来，数学最明显的本质，就是它是一种先验的真理体系，不是经验科学。物理、化学、生物等科学门类，正确性是由实验来判定的，公认多年的“真理”被进一步的实验证伪是经常发生的事，如牛顿力学被相对论与量子力学否定。数学却跟实验没有关系，你不可能通过数一数，AG旗舰厅看1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果，来判断1+1是否等于2。

　　如果你线个苹果，人们的结论只会是你数错了，而不是1+1等于3。如果你说1个原子核加另一个原子核会合并成1个原子核，那并不是1+1等于1，而是这里发生了核反应，不同于数学意义上的加法。这是因为当我们做逻辑推理时，必须有一些在逻辑上位于经验事实之前的、可靠性确定无疑的概念和命题作为基础，数学就属于这样的基础。那为什么教儿童算术的时候，会给他们看1个苹果加1个苹果等于2个苹果、1个桔子加1个桔子等于2个桔子？回答是，那不是证明，只是演示，演示的目的是让儿童头脑中产生数的概念。当他们认识到数的概念后，很快就会理解这个概念是独立于苹果、桔子这些具体事物的，无论谈的是苹果、桔子这样实际存在的事物还是神仙、妖怪这样虚构的事物，1+1等于2都同样成立。用庄子的话，这叫做“得鱼忘筌”。这是心理学、教育学的问题，而不是数学、逻辑学的问题。

　　数学只认公理体系、演绎法，而经验科学的根基是归纳法。为什么会这样？罗素等人认为数学是逻辑学，希尔伯特等人认为数学是形式系统，布劳威尔等人认为数学是心灵的直觉，哥德尔不完备性定理又表明数学比大家理解得还要复杂得多。要追根究底，数学的本质仍然是个悬而未决的问题，但在实用的意义上，对大多数科学工作者和公众而言，“先验的真理体系”这个事实陈述已经足够。

　　恩，作为一名大学本科正在读数学的学生，我对这个问题也挺有兴趣的。当然，疏浅之见，徒增笑尔。

　　近来我们常常听到同时也是我非常认同的一个观点是：数学是一门语言。是的，就像英语中文这样，是一种语言。那么具体的说呢，数学是人类为了研究宇宙中的规律所抽象出来的，用来进行逻辑思考的语言。

　　随着人类文明的发展，我们开始逐渐意识到，语言是人类思考的媒介。同样的这也适用于我们对于真理的探求。数学所研究的领域是抽象出来的，完美的理论世界，我们在研究这样一个世界的性质时，当然也可以采用我们平时说的话，比如像我国古代的《九章》，但是这样的自然语言当然是不适合用作这样的研究的，因为它太抽象了。所以我们就创造出一种语言，专门用来研究这个世界，这就是数学。

　　可能没有接触过高等数学的你对于这个说法无法太好的理解，但是其实你早已接触过它了。你证明问题的时候用的因为所以的符号，表示线段的字母，等号，等等等等，都是数学这门语言的字母，你接触过的定义和定理可以看成它的单词或短语，甚至固定搭配。而这门语言的语法，叫做逻辑。学习一门语言就是一种记忆单词，掌握语法，多加练习，做到理解并运用的过程——在数学中也是如此。

　　由于这门语言是以逻辑作为语法的，其基础也就自然是笛卡尔的二元论。笛卡尔被视为现代数学之父（之一），大概有这样的因素。后来衍生出一门学科叫做数理逻辑，也许可以视为这门语言的语法学？

　　当然了，这门语言和所有其他的语言都太不相同，导致很多人都觉得它并不是一门语言。当初丘成桐先生在给我们做学术报告时，说出这个观点，也让我思考了很久。关于数学的本质是什么，恐怕是一个由来已久并且也一直会有人不断讨论的题目。然而我相信，把数学视为一门语言确实是一种非常贴切的描述。AG旗舰厅

　　要探求数学的本质，那自然就不能落在一般的应用层面展示（诸如各行各业啊，息息相关啊，推荐阅读啊，我觉得这是不懂装懂回避问题的态度）。回答这个问题要看数学的研究对象和发展历史。

　　首先我们看现代数学的抽象程度，一上来定义一堆算子啊空间啊之类的东西。但是反过来看，最主要的是定义了不同空间中的内积，内积可以定义范数，导出距离……这样子我们可以发现，共性问题是空间中需要有一种测度，而测度的观点下看更本质的是内积，内积对应的物理意义是方向，也就是一个空间中有了方向才谈得上存在测度（距离只是测度的一个小子集）。这里顺带扯一下，距离是客观意义下可测量的一种测度，三体里面程心和关一帆生活的小宇宙是不存在可感知的距离的，所以他们两个才不会闷死。当然后来程心回到大宇宙后在这个框架下是可以对小宇宙感知距离体积的。

　　就举出上面这个线性泛函分析的小例子，我们可以一斑窥全豹地看到现代数学的抽象程度。但是这个抽象又可以还原回物理层，到这里需要分两重论述

　　（1）现代数学的抽象活动是无意识的，也就是数学家在建立数学的一般构型时，是根本不会考虑现实世界啊物理层有什么，这和建立数学模型是完全不同的。这里面又分几点，以讲述为主，道理懂得都懂，例子也是老例子：

　　①早期数学活动是对世界的有意识抽象：自然数，有理数，无理数，实数，欧氏几何，笛卡尔时代的解析几何，牛顿莱布尼茨时代的微积分，欧拉高斯黎曼时代的复变函数，柯尔莫哥洛夫之前的概率论、从皮尔逊到费希尔一直到现在的统计学……这一长串到大二为止还经常接触的单子都可以看成对现实世界的有意识抽象，哪怕是到了复变函数时代已经抽象程度大大高于微积分，仍然可以直接看作对实函数在复空间的推广以及解决诸如展开式这种计算问题。至于什么生产力与生产关系，社会存在决定社会意识，可知论与否这些就不去深入探究了。

　　②为了解决一般性理论问题数学活动很快就转入高度抽象化：19C开始，我们可以看到为了探讨集合论，康托尔定义了一系列公理，最终把实数理论建立，微积分也就上升为今天的数学分析（所以学数分学成计算是没用的，最最最关键是实数理论的掌握，对实数的完备性的体会，这才是一门数学专业基础课的目的，在另一个话题中喷的人自己看看自己掌握到什么程度才BB），同时以微积分严密化为动力，一大批数学分支的抽象程度都产生了爆发性提升。和分析学并行的是代数学，伽罗华和阿贝尔对群论的研究不仅构成了今天近世代数的基础，还使得代数学由传统的解方程课题有了质的提升（矩阵论凯莱也做了贡献，但总来说就高等代数和矩阵论的框架还是没有脱离计算解方程的框架和痕迹）。我们可以看到这种抽象是对已经有的计算或理论问题遇到困难的二次抽象，但是已经导致了一个分水岭：数学研究开始脱离现实中的一般问题，转向了一个由人类思维通过逻辑构造的抽象世界。

　　③现代数学是高度抽象的，对于大部分理论的探讨是无意识的抽象：尽管20世纪至今，在和现实世界紧密结合处诞生了运筹学、控制论等学科，数理统计也大放异彩，但是无法回避的一个事实是：主流的数学分支的抽象程度已经大大超出了现实对象，直接根植于应用层物理层建立的原创数学理论并非主流。往往是工程师针对现实问题提出了需要解决的数学问题，而解决该数学问题的方法来源于高度抽象的理论大厦。这一点对于由数分学到泛函为止的人都可以体会。《数学之美》是好书，但里面知识数学在工程领域的部分应用而已，不能拿这个来定义现代数学的全貌（哪怕应用数学的全貌也不是）。

　　我们可以看到，各种应用问题都可以利用数学知识进行解答，哪怕是一类不存在成熟算法的问题，都可以在抽象层找到解决方案，建立新理论，再还原。数学不止是提供解决方法，更重要的是证明了该方法的正确性。之所以在现实世界中能找到这种惊人的对应，这是由数学的发展路径决定的，简单来说，一个东西它源于生活，高于生活，最后还是可以回到生活。从最根本的角度而言，我们人类生活的三维空间可以感知方向，定义距离，我们对实际的事物有分割计数的要求，这些就促使了我们建立了数字系统，建立了几何（数字系统先于几何，但两者是并行的），然后对这些原始数学对象的抽象慢慢成了今天这个庞然大物。这可以形象地理解，数学就像一颗越长越大的树，应用层就像树荫，覆盖面积随着树的生长越来越多。如果有一天需要解决的问题是树荫外的一个点，那么数就往这个方向生长多一点，让树荫盖住这个点，同时树荫的总面积又变大了~

　　说了一堆，数学的本质是可以概括为：人类思维用逻辑为准绳的对现实世界探索活动的高度抽象思维产物及其衍生品，该产物不以现实世界为对象，但存在路径反馈回现实世界中解决应用问题。