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　　AG旗舰厅我们在学习一样东西的时候（比如数学），其实我们最后真正得到的是两个层面的东西。

　　第一个层面是这个学科非常具体的内容，比如数学公式、解题技巧。这类东西通常可以被写在教科书上，也容易用语言描述出来，我们可以称之为“显性知识”。第二个层面是在学习这个学科的过程中带给我们的影响或者顺带学到的一些思维方式、思维习惯或者其他一些微妙而隐晦的东西。这类东西一般很难用语言表述出来，甚至很多人在掌握这些知识、习惯之后，自己并不会意识到自己已经“学会了”它们。这类知识，我们一般可以称之为“隐性知识”。

　　比如，在科学史上，古希腊哲学家泰勒斯的一句“万物源于水”被认为是早期科学诞生的重要标志之一。但是我们知道万物源于水这句话实际上在科学上并不正确。那为什么他的话还会流传至今呢？原因在于，虽然这句话在显性知识层面上不正确，然而这句话背后却隐含着这样一种思维逻辑：即人类第一次对世界的规律的问题做了从自然自身寻找答案的尝试，而不是简单地将其托付于超自然力的原因，这一点正是科学的核心思想之一。而这个隐性知识实际上对当时认可这句话的人们起的作用远比其显性知识来得作用要大。虽然这句话本身是错的，确使接受这句话的人在以后的问题中会更倾向于使用非神秘主义的方法来认识这个世界，科学也由此逐渐在人类文明中诞生。

　　由此可见，显性知识的运用往往是有条件、有范围的，而隐性知识虽然不容易被发现和察觉，但其作用和影响却可以作用于人的一生、乃至整个人类文明的发展轨迹。

　　回到你的问题，数学本身给我们带来的显性知识可能对于大多数不从事理工专业技术工作的人来说可能没有什么直接作用。就像韩寒曾经说的那样，我们生活中用到的数学估计到小学三年级就已经够用了。然而在之后我们多年来学习的数学，实际上塑造了我们一种理性的、条理的、系统化的思维方式。这种思维方式在我们解决自己一生中遇到的诸多问题时，都有非常重要的作用。比如慎密的思考、分类的思想、排序的思想等。很多东西其实都带有学习数学这个过程产生的影响，只是由于其作用方式非常隐晦，也不容易被追溯其源头，我们平时不容易注意到罢了。

　　因此对于平时工作不使用数学的人来说，真正学到，有益的的是那些隐形而非显性知识，而正是这些隐形知识将极大地影响我们在一生中做出的许多关键的抉择。

　　我一直觉得词汇是个很神奇的东西，它们就仿佛是岩壁上的一个个凸起，而你的思考过程就好像在攀岩，一个人丰富自己的词汇，特别是和数学相关的词汇，会让自己变得聪明起来。

　　很多年前社会上有这么一种说法，说“对于日常生活来说，数学学到初一就够了”，其实严格来说也不能算错，毕竟加减乘除之类的运算搞清楚了，处理衣食住行之类的日常问题确实足够了。

　　但如果一个人的数学真的只学到初一水平，那他的思维将被深深地囚禁于局促之中，因为他脑中的词汇库会由于停止学习而缺乏一些数学概念的名称，一个人的意识中没有这些名称，这些名称所对应的概念也将变得难以理解。

　　比如说“补集”这个词，一个初一数学水平的人没有学过（至少我初一时课本里还没有），那他在思考时将怎么用自己的日常语言去描述同样的意思？“在相关领域范围内除了这个东西之外的其余所有同类东西的总和”？ 且不说是不是真的能在含义上准确地对应，就算能，效率低不低？本来两个字就可以对应的概念需要变成一段复合结构的长句，思考时费不费劲？

　　再比如说“指数增长”这个概念，没有学过的人要怎么表达同样的意思呢？毕竟他们大脑词汇库里根本没有这么一说，这个词汇对应的概念对于他们来说也是不存在的，当他们看到一组指数增长的数据时可能根本不会意识到这个规律的存在，就算模糊地感知到好像有这么个势头或规律，他们也不知道该怎么去描述，想对其作进一步的思考和分析就更是难上加难。

　　同样的，像“周延”、“离散”、“逆否”、“共轭”、“递归”、“互斥”、“期望”等词汇，其实都是非常简单的数学概念，学过以后很容易理解，但你如果就是没学过，那可惨了，你要不就是只能用效率低下的日常用语去做一个不甚严谨的冗长描述，并很快占满自己大脑的内存，要不就是根本无法展开思考，因为你的思考过程没有词汇可以作为前进的落脚点，思绪处于弥散的状态无法收敛为切实的概念，那感觉就仿佛要去攀爬一个岩壁，而那岩壁却像玻璃一样光滑。

　　这就是为什么继续学习而不是止步于初一是很重要的，因为学习的过程丰富了人的语言，扩充了人的表达，特别是和数学有关的表达，那些复杂的、间接的、自带前提和限制条件的概念，将被浓缩成一个个准确而直观的词汇，当你在思考时，将用手扣住它们，用脚踩住它们，充分发力，进退有据，扎扎实实地向高处的结论和答案推进，可谓既稳又快。

　　如果一个人的思考过程可以既稳又快，那么在日常生活中我们就用一个词汇来形容这种人：“聪明”。

　　对绝大多数人来说，数学是一生中学得最多的一门课程：从小学到中学，从中学到大学，包括到了研究生的学习阶段，都在学习数学。为什么要花这么多时间来学习数学？又为什么一定要努力学好数学呢？

　　如果认为这种学习只是为了执行学校与老师的规定，只是为了应付有关的考试并取得一个好的成绩，只是为了混得一张文凭将来找一个高收入的工作，或者只是为了或多或少掌握一些有关的数学知识，那么即使进了数学科学学院，也必然会对数学学习采取一个被动和应付的态度，学习的效果也必然会受到很大的影响。因此，这个看来似乎很平凡的问题其实很值得大家认线 数学的影响和作用可以说是无处不在的

　　世间的万事万物都有数与形这两个侧面，数学作为研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学，是剔除了物质的其它具体特性，仅仅从数与形的角度来研究整个世界的。数学的作用和地位，现在看来，概括起来可以有以下几条：

　　作为小学、中学到大学必修的重要课程，数学是人类必不可少的知识，这一点不会有人疑问。人类的许多发现就像过眼烟云，很多学科是从推翻前人的结论而建立新的理论的；然而，古往今来数学的发展，不是后人摧毁前人的成果，而是每一代的数学家都在原有建筑的基础上，再添加一层新的建筑。因而，数学的结论往往具有永恒的意义

　　欧几里得是二千多年以前的古希腊数学家，然而，以他命名的欧几里得几何至今还在发挥着重要的作用，其中的勾股定理，不仅没有被人认为老掉了牙而不屑一顾，相反还被人称为千古第一定理，一直被高度颂扬、反复应用，就充分地说明了这一点。

　　伽利略曾说过：“大自然这本书是用数学语言写成的。……除非你首先学懂了它的语言，……，否则这本书是无法读懂的。

　　同时，这种语言又是世界通用的。加减乘除，乘方开方，指数对数，微分积分，常数等等，这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋，但早已统一为一个固定的样式，世界各地通用，对我们的掌握和使用是十分方便的。

　　数学在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，已经是有目共睹。在现代，数学作为现代化建设的重要武器，在很多重要的领域中更起着关键性、甚至决定性作用。我们国家在两弹一星研制中的出色成就，凝聚了不少优秀数学家的心血，就是一个突出的例子。

　　现在，不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础

　　离开了数学的支撑，有关的科学已很难取得长足的进步，很多学科（特别是很多自然科学学科）近年来甚至已经出现了数学化的趋势。

　　数学忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界，它和哲学类似，具有超越具体学科、普遍适用的特征，对所有的学科都有指导性的意义。

　　大家千万不要认为，我们已经学过的数学、包括已经了解的数学，就是数学的全部。其实，中学里学习的数学，大体上属于初等数学的范畴，而大学本科所学的高等数学，是以牛顿、莱布尼茨在十七世纪创立的微积分为标志和起步的，到现在也已经有三百多年的历史了。数学远比我们已经看到的要丰富多彩，说数学的内涵博大精深，是一点也不过分的。

　　但是，数学愈发展，不是使事情变得愈来愈复杂，相反，处理问题会变得更简单，人们认识世界与改造世界的能力也愈来愈扩大，这会使我们愈学愈感到数学的魅力，愈学愈想学。

　　过去小学六年级的算术课，“鸡兔同笼”是一个顶级的难题，说是将一些鸡和兔放在一个笼子里，例如说，已知头数=10，足数=28，问鸡多少只？兔多少只？由于鸡只有两只脚，而兔有四只脚，问题就复杂了，而且算术课的要求是要一步写出答案来，那就难上加难。但到中学学了代数，只要设鸡为x只，兔为y只，根据题意列出一个二元一次联立方程式，一下子就可求得问题的解答，这是多么容易啊！

　　中学里学的平面几何，为了证明，要挖空心思画辅助线，实在是对智力的一个重大挑战与考验，但学习了解析几何，将代数与几何结合起来，过去绞尽脑汁才能求解的几何问题就一下子变得轻而易举了。

　　过去一支笔、一张纸就能搞定的数学，竟然可以成为一门技术，似乎是匪夷所思。但是，数学的思想和方法与高度发展的计算技术的结合的确已经形成了技术，而且是一种关键性的、可实现的技术，称为“数学技术”。在这种技术中起核心作用的部分是数学

　　我们在医院里看到的CT这一先进的技术就是一个突出的例子。它的本质，是利用X光从各个不同角度所拍摄的众多平面照片，恢复出体内物体（如肿瘤）的立体形状，这完全是一个数学问题。这样，数学的内涵物化为计算机的软件及硬件，就成为技术的一个重要组成部分与关键，从而可以直接地转化为生产力。现在，“高技术本质上是一种数学技术

　　数学是人类文明的重要基础。它的产生和发展伴随着人类文明的进程，并在其中一直起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。

　　大家知道，数学开始于数数。原始人只能区分1与多，碰到3就觉得多了，三人为“众”大概就是这样来的。后来有了十进制，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0这十个数字，再加上逢十进一（以及一个小数点），就可以表示世界上任何一个数字。这是现在的人们从小就知道的事实，似乎是天经地义的。

　　然而，这却经历了一个漫长的历史进程，是数学给人类文明带来的一个不可磨灭的巨大贡献。

　　这样的例子还可以举出很多AG旗舰厅，但就从这个例子已足以看出：数学过去是、现在是、将来也将是一种先进的文化，它带领着、推动着、影响着人类的文明进程，深刻地改变着世界的面貌，也改变着人类本身的思维能力和认识水平，改变着人类的本身。人类充分享受着数学文化的恩惠，但往往浑然不觉、习以为常，“身在福中不知福”。

　　古人说：“天不生仲尼，万古长如夜”。大家想一想，如果没有数学，没有数学的进步，人们可能还生活在愚昧之中，过着“长如夜”的生活，我们有什么理由不重视数学、不重视数学文化的引领和薰陶作用呢？

　　尤其在当代，数学作为经济建设的重要武器，作为各门科学的重要基础，作为人类文明的重要支柱，在很多领域中已起着关键性、甚至决定性作用，数学技术已成为高技术的突出标志和不可或缺的组成部分，数学的影响和作用可以说是无处不在，其重要性也已为越来越多的人所认同。这样，不仅在中、小学，而且在大学的很多系科中，数学都位列最重要的必修课程，就是理所当然的事了。

　　另一方面，要搞清为什么要学习好数学，还要认识学好数学对一个人培养与成长的重要作用

　　数学既然这么重要，那么，学习数学的目的就仅仅在于得到一大堆定理、公式和结论，懂得各种各样的数学方法和手段，会得求解各种各样的习题甚至难题吗？否！！！

　　如果将数学学习的好坏仅仅理解为“刷题”的数量和速度，那充其量也只能成为一名熟练的数学工匠。

　　数学是一门重思考与理解、重严格的训练、充满创造性的科学，只有掌握了数学的思想方法和精神实质，才能由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。

　　我们许多在实际工作中成功地应用了数学、取得相当突出成绩的校友都有这样的体会：在工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不一定很多；学校里学过的一大堆数学知识

　　他们所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，所获得的数学教养，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。我认为，这是很值得引起大家重视的经验之谈。实际上，通过认真的数学学习和严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力。这些素质和能力是其他课程的学习和其他方面的实践所无法替代或难以达到的，而且，即使所学的数学知识已经淡忘（这是经常发生的情况！），这些素质及能力作为一个人的数学教养仍不会消失，将伴随终生，始终发挥积极的作用。这些素质和能力

　　数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最少的条件（代价）以及最简明的证明AG旗舰厅，通过严格的数学训练，会逐步形成

　　作为一种思想的体操和竞赛，数学会使人增强拼搏精神和应变能力，通过不断分析矛盾，

　　这种素质教育不是从外界强加进来的，而是数学教育本身所固有的。以传授与学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练，就可以由不自觉到自觉地将上述这些方面的素质和能力，耳濡目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，逐步变成自己的数学教养。

　　真正学好了数学，不管你将来从事哪行哪业，都会让人变得更聪明，更有智慧，更有竞争力，终生受用不尽。

　　上面所说的这些，原则上可以适用于所有的大中学生，甚至小学生，对大家当然也不例外。但是，今天大家来到了复旦的数学科学学院，正要开始以数学为专业的系统学习，正在跨进数学科学的殿堂、成为一支数学新军的时候，你们的任务就不应该仅仅是常规意义下的学习，而是要遨游于博大精深而又美轮美奂的数学王国，品尝并探索数学科学的精义和奥秘，并努力为之添砖加瓦

　　同时，还要籍助于数学这一既神奇又实用的思路、工具和方法，努力揭示大自然和人类社会的种种奥秘和规律，对我们所处的这个世界有更好的了解和认知

　　正因为这样，希望复旦数学科学学院新入学的同学们，一开始就树立起一个远大的志向，都有一个美丽的梦想，那就是将数学作为自己毕生的事业，立志将自己培养和造就为一个未来的数学家，为数学的发展与进步、为人类社会的发展与进步做出自己的建树和贡献，也为复旦的数学进一步增光添彩。

　　这是一个崇高而远大的志向，但不是一个不可达到的目标。我们高兴地看到，今年入学的本科新生121人中绝大部分都是以第一志愿录取的。自觉地选取数学为自己的志愿，说明大家对数学的热爱和追求。立志成为一个数学家，在复旦这一百年名校的培育和熏陶下，接过苏步青教授、谷超豪教授这些老一辈数学家手中的接力棒，继承和发扬复旦数学科学学院这一培养优秀数学家摇篮的优良传统，应该是不少同学内心的自觉追求，还是值得给以充分的鼓励和支持的。

　　先打好一个数学基础，将来转入到其他各行各业发挥作用。应该说这也是学习数学的一个良好的出路和动机，众多有着良好数学基础和修养的毕业生进入各行各业，不仅会从根本上改变这些行业的面貌，而且对数学发展本身也提供了良好的外部环境和带来极大的推动，同样是值得鼓励和支持的

　　但是，尽管将来要进入各行各业，你们和其他人相比的优势不在别的地方，而在你们数学上的积淀；你们将来在新的环境中能不能脱颖而出，靠的也只能是你们在数学上的优势，而不是其他！你们将来的着力点，应该是在数学与其他学科交叉与融合的结合部上，这就是现在人们大力提倡的工业与应用数学。你们的奋斗目标同样应该是成为一个数学家，而且是一个真正意义上的工业与应用数学家。

　　在这方面，我还想对在座的女同学说几句话。近些年来，数学科学学院本科生及研究生中的女生均有相当高的比例。今年本科生中女生的比例比往年虽略有减少，但也超过了18%，而研究生中女生的比例则接近34%。女同学大多学习认真，成绩良好，其中的一部分也非常优秀，但有时可能会多少有些不够自信。

　　历史上就不乏一些极为优秀的女数学家。为了说明这一点，我将请学工负责老师通过电子邮件发给大家一份由我主编的数学文化小丛书中即将出版的一本小册子，题目是“冲破世俗与偏见的樊篱——记三位杰出的女数学家”。这三位女数学家分别是法国的热尔曼、俄国的柯瓦列夫斯卡娅及德国的诺特。她们在妇女没有受教育基本权利的时代，尚且做出了如此杰出的贡献，从而青史留名，对我们的广大女同学，应该是一个很大的激励和极好的楷模，希望大家抽空好好读一读、想一想。

　　树立一个崇高的奋斗目标，努力学好数学，尽可能学得出类拔萃，不仅是现阶段对你们的学习要求，也是对你们未来发展的战略性投资，是终生受用不尽的

　　只有数学，才可以超越我们的观察能力，去建构和描述一个完全未知的领域——去研究现实中根本不存在的对象，分析现实中并不存在的问题。

　　或者说：为什么在微观世界里的经验逻辑，和我们在宏观世界里的经验逻辑，如此不同？

　　但直到在某天上班的时候，这些疑惑，却被某个同事无心的一句话，给彻底击穿了。

　　某个工作日的下午，我们研发游戏团队的策划同事们，像往常一样，正在调试游戏的脚本文件。

　　我突然就走神了，不由自主地那么愣了一会，然后这句话和脑袋里的「薛定谔的那只猫」不知怎么着，突然就联系起来了。

　　似乎周边的事物，都像被「黑客帝国」里的 Neo 看穿了世界本质后的影像一样，全都变成了四周流动着的数码和逻辑符号，整个世界都完全不同了。

　　一时间，看着面前电脑屏幕上游戏画面里面跑来跑去的那些 NPC 小人，一种说不出的情绪泛上心头。

　　之前百思不得其解的微观现象，居然都可以在虚拟世界中，或者说游戏体验中找到相似对应的现象。

　　除非人类灭亡了，或者是没有能力，否则肯定会创造虚拟世界出来，并且尝试模拟自己或者祖先。

　　而且，只要最初代的人类成功了，那么后面虚拟世界里面的第二代，第三代的人类肯定还会这样做。

　　要么我们就是还没足够进化的「最初代」，要么我们正生活在上一代人类创造的虚拟世界中。

　　我们所有人，其实都生活在别人创造的虚拟世界之中，只是我们不知道自己身处哪一层而已。

　　这都已经不是怀疑我们的世界存在虚拟可能了，而是直接在寻找虚拟世界的存在证据了。

　　在这方面进行研究的，还有加州理工学院的计算数学专家侯曼·奥瓦迪（Houman Owhadi）。

　　他说：「如果我们再次以游戏举例，这就像很多游戏都凭借巧妙的编程，尽可能地节省构建游戏中虚拟世界所需的运算能力。」

　　达沃迪本来的研究的方向，是使用计算机的算法，来模拟粒子之间的互相作用，用算法来模拟微观世界的各种作用力。

　　而真实世界的粒子间的相互作用关系，说不定也是采用某种便捷算法模拟出来的。

　　就如同虚拟世界的基础代码一样，而这些代码运行的结果，就构成了我们所感知到的现实世界。

　　他说：「事实上，我们所在的真实世界比这（电影《黑客帝国》）更为不可思议，它是一个量子信息的世界，信息是一切的基础，物质是由信息构成的虚拟的东西。我们生活的真实世界，就是一个量子计算机，存在于其中的各种物质、人，都是量子信息的虚拟反映。

　　为什么，我们所处的宇宙的微观世界和宏观世界，在数学和逻辑上，有严重的不一致呢？

　　看到这里，有朋友会感到奇怪，为什么我会对微观世界的数学逻辑和宏观世界不一致感到不解呢？

　　的确，从科学角度来讲，对客观世界的观察结论，就是我们认识一切客观规律的基础。

　　数学不仅可以描述科学所研究的客观世界，还能研究超越客观世界的纯逻辑世界，研究现实中根本不存在的对象，分析现实中并不存在的问题。

　　例如，我们可以用数学研究无穷大，无穷小，无理数，虚数，集合，N 维空间等等。

　　例如，为什么在描述宏观世界和微观世界时，我们为什么需要使用不同的数学方法？

　　学习被耽搁了，数学哪里都学的不扎实，而且对数学现状存在很多的不了解，那也更加无法坚定目标！从这个例子上，就是说，对学数学的好处我们别抱有太多抽象的幻想，调查的越实际越好，以及为什么学数学要想清楚一些

　　其次，将来你也只是在研究数学这个大天地里某个小分支上的数学，你也能在小分支里找到数学无限的乐趣

　　数学家们对数学归纳法的假设是怎么想出来吗？素数的几个推导公式是怎么来的？你会赞叹前辈的智慧之巧妙！