AG旗舰厅

　　AG旗舰厅一位德国数学爱好者，因为被喜欢的妹子拒绝，于是决定自杀，给亲友写好了道别信，然后等待着在午夜钟声敲响的那一刻结束自己的生命，离午夜钟声敲响还有几个小时，他于是无聊做一道数学题，挑战一下证明费马大定理，当然他又不是高斯再世，所以直到天亮都没做出来，不过这不要紧，他似乎又找到了人生的价值和意义，于是他决定不自杀了，他撕毁了所有道别信，并且重新立了遗嘱，将自己大部分的遗产，成立一个奖项，奖励未来能够证明费马大定理的人。所以你看，数学多有趣啊。哈哈哈

　　说几个我认为很有趣的例子。在我给非数学专业的朋友介绍（纯）数学时，我经常会拿出这么几个例子。

　　通过构造/2的映射，可以证明正偶数和正整数集合元素一样多（相同的cardinality）AG旗舰厅。也就是说，一个集合有可能和他的真子集包含一样多的元素。心里有这个概念的话，Banach–Tarski定理也许听起来就容易接受一些：对于一个单位球，可以将它切割成有限份，通过对每份进行旋转、平移，我们可以将它们拼成两个单位球。

　　假设你被一群海盗困在了一个荒岛，你在荒岛的正中间，左右两边不远处都是悬崖峭壁。这时候海盗头子要给你一个活的机会：你可以自己拟定一个足够长的+1,-1序列。之后海盗会选择一个等差数列，比如2,4,6,8,10,\dots。这时候，从你自己拟定的序列中挑出第2项，第4项，第6项，\dots（即他选择的等差数列对应的项），扔去其他剩余所有项。然后依据挑选出的序列，+1代表往右走一步，-1代表往左走一步，依次进行。那么你一开始能不能找到这么一个+1,-1序列，使得不论海盗怎么挑等差数列，你最终都不会掉下悬崖吗？

　　这个就是困扰学界八十多年的，著名的Erdos Discrepancy Problem：是否存在一个无限长度的+1,-1序列，使得对于任意给定的常数C，它在任意长度等差数列对应的项上的和的绝对值都小于C？

　　答案是：不存在。这个问题最终在14年被陶哲轩解决。在此之前，计算机学家们通过计算机，可以证明C=2时（即当你与两边的悬崖距离为两步时）该数列不存在。但是他们的方法无法延伸到C=3。

　　我们小的时候，大概都喜欢在纸上乱画。这个问题也许很多人都想过：在纸上画一些直线，希望任意两个直线的夹角相同，那么我们最多画几条这样的直线？对于二维的情形，不难得到正确答案：3条。等边三角形的三条边就是一个满足条件的构造：任意两条直线度。另一个例子，比如7维空间的等角线维表示的weight vectors，给了我们28条直线。我们目前只知道至多13维空间的等角线的个数。对于一般的n维空间中等角线数目，还是open的，也是离散几何领域最出名的几个问题之一。

　　维空间中夹角为\alpha的等角线有多少条？这个问题在上个月被@姜子麟以及合作者解决。面包圈星球需要更多的颜料

　　地球是一个（两极略扁的不规则）球体。不考虑物理学上的稳定性，假设有这么一个外星人世界，生活在一个庞大的面包圈星球上。现在这个星球需要画一张世界地图，最少需要多少种颜色呢？

　　这个就是著名的Heawood Map Coloring Conjecture，Heawood在1890年提出。由于四色定理，地球上的地图只需要4种颜色就够了。Heawood把这个现象推广到了任意亏格的曲面上AG旗舰厅。这个猜想还入选了“20世纪最著名的数学猜想”之一，最终在1968年被Ringel和Youngs解决。

　　根据Ringel-Youngs定理，面包圈星球的人至少需要七种颜色，才能画一张世界地图。

　　给定任意一个复杂网络，比如社交网络，神经网络，互联网。例如，现在我有一张世界上所有人的好友关系的连接图：每个人是图上的点，两个人认识，就在这两个人所代表的两个点之间连一条边。看起来这会是一个巨大的。稠密的，复杂的，和“随机”完全不沾边的确定的图。但是Szemeredi正则性引理告诉我们，对于这么一个图，我可以把他拆分成常数份（这个常数与图中点的个数无关），使得每两份之间的子图看起来都像

　　图。依据Frieze-Kannon正则性引理，如果我们稍稍减弱一些随机性的要求，这个常数甚至可以取的很小。回到我们的这个“好友关系”图，也就是说地球上的好友关系，实际上就是一些随机图的叠加。Green和陶哲轩甚至将这个结论推广到了任意有限集/群上的有界函数！Green-Tao正则性引理说，对于任意函数f:A\to[0,1]，我们有

　　我第一次见到这个式子，非常吃惊，真的假的？这个约等号是什么精度？看了又看，忍不住掏出电脑算了一下：左面约等于403.7604122449

　　精确到小数点后面第四位，相当不错了，我不禁有点兴奋。那个妹子非常的nice，我盯着她胸瞅来瞅去，她反而对我友善地会心一笑。

　　然而，这个小小的“计数”能力却开辟了你我现在所能看到的一切繁荣。如果上面的视频看不懂，推荐用下面的播放器来查看